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Como Desenhar a Espiral de Ouro

Espiral de Ouro - Espiral Divina - Espiral Áurea

Passo a Passo para Construir uma Espiral de Ouro

Espiral de Ouro, Espiral de Fibonacci, Espiral de Dürer e Espiral Logarítmica. Não, não são a mesma coisa, mas estão relacionadas. Entenda neste artigo.

Espiral de ouro, espiral áurea ou espiral de Dürer

Espiral de Ouro ou Espiral Áurea

É atribuída ao ilustrador e matemático alemão Albrecht Dürer e é construída sobre um grid baseado em retângulos áureos. É também conhecida como Espiral de Dürer.

Veja um roteiro para a construção da Espiral de Ouro:

1 Inicie desenhando um retângulo de ouro, onde o lado maior deve ser o lado menor multiplicado por 1,6180, o número de ouro (observe, na figura, a posição em que colocamos o retângulo na página).

Como construir a espiral áurea: passo 1

2 Acima do lado maior do retângulo, desenhe um quadrado com o lado igual ao lado maior do retângulo. O retângulo grande, resultante da união das duas figuras também será um retângulo áureo.

Como construir a espiral áurea: passo 2

3 À esquerda, anexe outro quadrado com o lado igual ao lado maior do novo retângulo. O retângulo maior obtido agora, também será um retângulo áureo.

Como construir a espiral áurea: passo 3

4 Repita os procedimentos anteriores, seguindo a mesma lógica, como se estivesse desenhando os quadrados em sentido anti-horário, conforme a figura.

Como construir a espiral áurea: passo 4

5 Mais um quadrado à direita...

Como construir a espiral áurea: passo 5

6 Mais um quadrado acima...

Como construir a espiral áurea: passo 6

7 Mais um quadrado à esquerda...

Como construir a espiral áurea: passo 7

8 Para finalizar, com um compasso, desenhe quartos de circunferência nos quadrados, conforme ilustrado, obtendo uma espiral áurea.

Como construir a espiral áurea: passo 8

Espiral de Fibonacci

É muito semelhante à Espiral de Ouro e por esse motivo muitos confundem os conceitos. Na prática, utilizar uma outra nas criações poderá não fazer diferença, mas elas diferem no conceito.

A principal diferença está na construção do grid. Enquanto na Espiral de Ouro (em azul) o grid é baseado em retângulos áureos, na Espiral de Fibonacci (em vermelho) o grid é baseado em quadrados que seguem a sequência de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...). São dois quadrados de lado igual 1 unidade de comprimento, o terceiro de lado 2, o quarto de lado medindo 3 e assim sucessivamente. Quanto maior o retângulo obtido, mais próximo ele será do retângulo áureo (observe que os primeiros retângulos não são).
Observe como é pequena a diferença, quando fazemos a superposição das duas espirais.

Exemplo comparativo das espirais de ouro e de Fibonacci

Na figura abaixo, observe como o grid é construído a partir de dois quadrados de lado 1. Os retângulos obtidos inicialmente não são áureos (a razão entre os lados não é 1,6180) mas, à medida que avançamos na série, as razões se aproximam do número de ouro.

Grid da espiral de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...)

Espiral Logarítmica

Espiral Logarítmica

Foi descoberta por René Descartes, mas os estudos sobre ela foram aprofundados mais tarde pelo matemático suíço Jacob Bernoulli que a chamou de spira mirabilis pela beleza da fórmula.

r(θ)=R.e θ.cotg α

R é uma constante para o raio inicial, quando θ=0, e r e θ são coordenadas polares. Para cada valor de α você terá um formato diferente para a Espiral Logarítmica.

No site Geogebra você poderá ver e interagir com um exemplo simplificado dessa função.

E o que a Espiral Logarítmica tem a ver com a Espiral de Ouro? A Espiral de Dürer (espiral de ouro) e a Espiral de Fibonacci são casos particulares da Espiral Logarítmica.

Espiral de Ouro no Design de Produtos

Observe o formato desta trena (fita métrica). Qualquer semelhança é mera coincidência... Será?!

Aplicação da espiral de ouro no design de produtos