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Como Calcular o Número de Ouro

Número de Ouro - Proporção Divina - Proporção Áurea - Razão Áurea - Divina Seção

Passo a passo para calcular o número de ouro

Também conhecido como proporção divina, proporção áurea, razão áurea, ou divina seção, trata-se da razão entre o lado maior e o lado menor de um retângulo considerado o mais belo. Isso porque, por algum motivo, esse formato parece agradar a vista humana.

Proporção já usada na Grécia antiga pelo arquiteto Phideas, é representada pela letra grega φ (phi) em sua homenagem e vale, aproximadamente, 1,6180.

Como é o Retângulo Áureo

Retângulos áureos e não áureos

Para chegarmos matematicamente a esse valor, vamos partir de um retângulo áureo. Você pode fazer retângulos com vários formatos, mais estreitos, mais largos, porém, um desses formatos será o retângulo áureo.

Quando um retángulo é áureo, retângulo de ouro

Para identificar, divida o retângulo em duas partes, de modo que uma delas seja um quadrado e a outra, um retângulo.

Desse modo, você terá dois retângulos: o primeiro, ABCD, que você dividiu e um menor, PBCQ. Para facilitar, mostramos o primeiro retângulo dividido (em um quadrado e um retângulo) e, ao lado, separamos os dois retângulos, ABCD e PBCQ.

Se esses dois retângulos forem semelhantes (mesmo formato) eles serão retângulos áureos e a razão de semelhança será φ = 1,6180....

Como obter o valor de phi matematicamente

Lembrando das aulas de matemática....

Como calcular o número de ouro

Lado maior do retângulo ABCD está para o lado maior do retângulo PBCQ, assim como o lado menor do retângulo ABCD está para o lado menor do retângulo PBCQ.

Algebricamente...

(a+b)/a = a/b

Separando a 1ª fração em duas obtemos

a/a + b/a = a/b1 + b/a = a/b

Como a proporção que buscamos é a/b, podemos fazer

a/b = φ

Substituindo a/b por φ na equação anterior temos

1 + 1/φ = φ

Multiplicando os dois membros por φ chegamos a uma equação quadrática

φ + 1 = φ²φ² - φ - 1 = 0

Resolvendo, encontramos dois valores para φ:

φ' = -0,6180339875...
φ'' = 1,6180339875...

Dispensamos a solução negativa, pois não faz sentido para a proporção, e arredondamos o resultado, chegando no número de ouro:

φ ≈ 1,6180

Sequência de Fibonacci, outra forma de chegar ao número de ouro

Depois dos gregos, o matemático Leonardo Pisano (1170 – 1250), conhecido como Fibonacci descobriu uma sequência numérica observando o crescimento da população de coelhos a partir de um casal:

(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377…)

Observe como cada termo da sequência é o resultado da soma dos dois termos anteriores.

E o que tem isso a ver com o número de ouro? Dividindo-se um termo pelo seu antecessor, obtemos resultados próximos ao número 1,618 e, quanto mais avançamos na sequência, mais próximo de 1,618 é o resultado.

1/1     = 1
2/1     = 2
3/2     = 1,5
5/3     = 1,666…
8/5     = 1,6
13/8   = 1,625
21/13 = 1,615…
... → 1,618